Adaptive Harmonic Balance Methods, A Comparison

Shape optimization of a blunt body Vibro-wind galloping oscillator

A general identification technique for nonlinear differential equations of motion

Палі для будівництва фундаментів використовувалися ще в далекій давнині. Спочатку палі використовувались при ущільненні ґрунтів з метою значного підвищення несучої здатності основ фундаментів, а потім – в якості несучих елементів, які можуть передавати навантаження від плити фундаментів на ґрунт. Палі спочатку виготовляли із лісоматеріалів і забивали ручними молотами. Голови паль зрізали нижче рівня води, захищаючи, тим самим, їх від дотикання із повітрям. В даний час в фундаментобудуванні використовується більш ніж 100 типів паль, які класифікуються по трьома найбільш суттєвими признаками: це по особливістю передачі навантаження на ґрунт (палі-стійки, висячі, ущільнення, тертя); – по способу заглиблення або вбудуванні палі в ґрунт (що виготовляються раніше і заглиблюються в готовому вигляді; виготовлені в проектному положенні; комбіновані); – по матеріалу: дерев’яні, бетонні, залізобетонні, комбіновані.По особливостям передачі навантаження на ґрунт найбільше розповсюджені палі -стійки і висячі палі. Палі-стійки передають навантаження на ґрунти в основному нижнім кінцем на малостиснутих ґрунтах (скалисті, пісчані, тверді глини). Висячі палі передають навантаження на любі ґрунти нижнім кінцем , а також за рахунок сил тертя по боковій поверхні.З кожним роком все більше набуває використання віброударного обладнання, так названих вібромолотів. Ця техніка успішно використовується при спорудженні надійних фундаментів під різні споруди.Здійснення сказаного вимагає вивчення і дослідження процесу віброударного заглиблення паль. а також створення найбільш продуктивних способів його виконання.Одним із перспективних напрямків є впровадження фундаментів із паль при будівництві споруд при щільній забудові в містах і селищах.Також необхідно відмітити, що спорудження фундаментів із паль дає можливість впроваджувати комплексну механізацію і автоматизацію технологічних процесів, що значно підвищує продуктивність робіт.Віброударне заглиблення паль є одним із найбільш продуктивних способів побудови надійного фундаменту під різні споруди . Віброударне заглиблення, котре широко впроваджується на будівництві , належить до ударної технології заглиблення паль. Метод віброударного заглиблення паль полягає в тому, що при вібрації суттєво зменшуються сили виникаючого тертя і сили зчеплення між палею і ґрунтом, а в результаті значно зменшуються сили опору заглибленню палі.В даний час, при проектуванні вібромолотів динамічні фактори при їх експлуатації не враховуються. Тому надійність можна підвищити, якщо на стадії їх проектування враховувати хвильовий характер навантажень віброударної техніки.Віброударне заглиблення паль нами розглядалося у взаємодії механічних і електромагнітних процесів і в результаті була отримана математична модель динамічних процесів при роботі вібромолота, котра включала нелінійні диференціальні рівняння руху мас вібромолота і лінійне диференціальне рівняння електромагнітних явищ в двигуні приводу.Аналізуючи отриману інформацію можна акцентувати, що віброударному методу заглиблення паль мало приділено уваги і широка інформація практично відсутня. Тому являється актуальним створення продуктивних зразків вібромолотів, методик їх розрахунків і проведення наукових досліджень динаміки робочих процесів цих машин на що і направлена дана магістерська робота.В даній роботі нами теоретично досліджено, з використанням математичного застосунку MathCAD, динаміку вібромолота і отримано результати котрі можуть бути використані при проектуванні та визначенні динамічних навантажень подібних віброударних машин.При розрахунку вібромолотів на статичну й утомленуміцність коливальні процеси конструкцій та їх динамічні навантаження, в цей час, не враховуються. Однак їх несучу здатність можна значно підвищити, якщо у розрахунках при їх проектуванні враховувати їхні амплітудно-частотні характеристики. Відсутність ж уточненої методики розрахунку сучасних вібраційних машин, в тому числі і вібромолотів, для здійснення ефективного занурення різноманітних паль ускладнює їхнє проектування і експлуатацію.Метою статті є висвітлення результатів математичного моделювання коливальних процесів при заглибленні паль вібромолотом та визначення динамічних навантажень на його елементи.В роботі теоретично досліджено, з використанням математичного програмного середовища MathCAD, динаміку механізму привода вібромолота і отримано результати які можуть бути використані при проектуванні, розрахунку та визначенні динамічних навантажень подібних вібраційних машин.

From d’Alembert’s principle exact nonlinear differential equations of motion are derived for systems which are composed of an arbitrary number of rigid bodies with an arbitrary interconnection structure and with arbitrary ideal constraints in hinges between bodies (the term hinge is used for any kind of connection between two bodies). The paper represents a generalization of earlier investigations by Fischer [1], Hooker [2, 3], Margoulis [2], Roberson [4, 5], Boland/Samin/Willems [6], Lilov [7] and Wittenburg [4, 7, 8]. A comprehensive textbook on the subject was written by Wittenburg [9].

The motion of an oscillator instantaneously loaded with a constant force under conditions of nonlinear external resistance, the components of which are quadratic viscous resistance, dry and positional friction, are considered. Using the first integral of the equation of motion and the Lambert function, compact formulas for calculating the ranges of oscillations are derived. In order to simplify the search for the values of the Lambert function, asymptotic formulas are given that, with an error of less than one percent, express this special function in terms of elementary functions. It is shown that as a result of the action of the resistance force, including dry friction, the oscillation process has a finite number of cycles and is limited in time, since the oscillator enters the stagnation region, which is located in the vicinity of the static deviation of the oscillator caused by the applied external force. The system dynamic factor is less than two. Examples of calculations that illustrate the possibilities of the stated theory are considered. In addition to analytical research, numerical computer integration of the differential equation of motion was carried out. The complete convergence of the results obtained using the derived formulas and numerical integration is established, which confirms that using analytical solutions it is possible to determine the extreme displacements of the oscillator without numerical integration of the nonlinear differential equation. To simplify the calculations, the literature is also recommended, where tables of the Lambert function are printed, allowing you to find its value for interpolating tabular data. Under conditions of nonlinear external resistance, the components of which are quadratic viscous resistance, dry and positional friction, the process of oscillations of an instantly loaded oscillator has a limited number of cycles. The dependences obtained in this work using the Lambert function make it possible to determine the range of oscillations without numerical integration of the nonlinear differential equation of motion both for an oscillator with quadratic viscous resistance and dry friction, and for an oscillator with quadratic resistance and positional and dry friction. Keywords: nonlinear oscillator, instantaneous loading, quadratic viscous resistance, Lambert function, oscillation amplitude.

Dynamic buckling of a single-degree-of-freedom system with variable mass

The harmonic balance method is a very useful tool for characterizing and predicting the response of nonlinear dynamic systems undergoing periodic oscillations, either self-excited or due to harmonic excitation. The method and several of its variants were applied to nonlinear aeroelastic systems over the last two decades. This paper presents a detailed description of several harmonic balance methods and a continuation framework allowing the methods to follow the response of dynamic systems from the bifurcation point to any desired parameter value, while successfully negotiating further fold bifurcations. The continuation framework is described for systems undergoing subcritical and supercritical Hopf bifurcations as well as a particular type of explosive bifurcation. The methods investigated in this work are applied to a nonlinear aeroelastic model of a generic transport aircraft featuring polynomial or free-play stiffness nonlinearity in the control surface. It is shown that high-order harmonic balance solutions will accurately capture the complete bifurcation behavior of this system for both types of nonlinearity. Low-order solutions can become inaccurate in the presence of numerous folds in the limit-cycle oscillation branch but can still yield practical engineering information at a fraction of the cost of higher-order solutions. Time-domain harmonic balance schemes are shown to be more computationally expensive than the standard harmonic balance approach.

In this paper, a dynamical system, which consists of two linear mechanical oscillators, coupled with a nonlinear damping device is considered. First, the dynamic equations are derived, then, an analytical method such as harmonic balance method, is applied to obtain the response to a harmonic base excitation. The response of the system depends on the excitation characteristics. A parametric study is carried out based on different base excitation amplitudes, frequencies, and different nonlinear damping values and the response of the system is fully described. For validation, time domain simulations are carried out to obtain the nonlinear response of the coupled system.

In crane design an accidental action that should be considered is the failure of one of the hanging mechanisms during transport operations of large masses. In this paper, the case of a crane transporting a large mass suspended by two sets of cables is considered. The dynamic behavior and the forces induced in the crane, due to the failure of one of the hanging mechanisms, are studied using two 3 degrees of freedom mathematical models. The highly nonlinear differential equations of motion are derived and integrated by Runge‐Kutta algorithm. The influence of the stiffness of the cables, the initial configuration of the system, the value of the hanging force corresponding to the cable release, and the stiffness of the braking system of the trolley are analyzed.

Hydraulic lash adjusters can eliminate clearance between components in the automotive valve trains. A two-mode dynamic model for the adjuster is derived by including check valve motions at two operating modes. The oil refill mechanism controlled by the check valve is experimentally identified. The oil compressibility in the oil chamber and the oil leakage through the annular gap between the plunger and the body are also considered. It is shown that motion of the adjuster plunger must satisfy a third-order, non-linear differential equation of motion. The differential equation is numerically integrated, and the experimental data in leak-down test provided by the manufacturer is shown to be in good agreement with the model. The annular gap is found to be the key factor in controlling leak-down speed, and the effective orifice diameter is shown to be the key factor in describing the pump-up phenomenon. It is also found that one percent air entrainment in the oil chamber of the adjuster seriously compromises overall adjuster rigidity and reduces the natural frequency of the adjuster almost 50 percent.

The paper proposes a device for finding the coefficient of rolling friction using a sphere in contact with the inner surface of a ring that rotates about a horizontal axis. The motion of the ball is characterized by the fact that for a stipulated rotation speed of the ring the centre of the ball executes a damped oscillatory motion and at equilibrium the centre of the ball is situated on different vertical than the one the centre of the ring is positioned. It is assumed that this feature is produced by the rolling friction torque that is proportional with the normal pressing force and the nonlinear differential equation of motion is obtained for the intended dynamic model. By the integration of the equation of motion there are confirmed the oscillatory motion of the ball and the eccentric equilibrium position and it is found a dependency of equilibrium position on the coefficient of rolling friction.

The equations of motion of a rotor system mounted on journal bearings with a non-linear characteristic are solved by high-precision analytical methods. A new technique has been developed for solving nonlinear differential equations of motion of rotor systems mounted on journal bearings, taking into account nonlinearity of reaction forces of the lubricating layer. Algebraic systems of equations were obtained that allow us to determine amplitudes of nonlinear oscillations of the rotor and supports, and construct the amplitude-frequency characteristics of the system for varying parameters of the rotor, supports and fluid depending on the angular velocity of the rotor. The conditions and frequency intervals for the presence of self-oscillations of the rotor and supports were determined. The amplitude-frequency characteristics of the nonlinear oscillations of the rotor system are obtained, taking into account nonlinearity of characteristics of journal bearings. The optimal parameters depending on the size of the gap and the oil film, the mass of the supports, the fluids used as a lubricating layer in the journal bearing, with rigidity and damping coefficients, at which the magnitudes of the amplitudes of self-excited oscillations have optimal values, are obtained.

A non-linear model for the dynamics of open cross-section thin-walled beams—Part I: formulation

The non-linear dynamic behaviors of thermoelastic circular plate with varying thickness subjected to radially uniformly distributed follower forces are considered. Two coupled non-linear differential equations of motion for this problem are derived in terms of the transverse deflection and radial displacement component of the mid-plane of the plate. Using the Kantorovich averaging method, the differential equation of mode shape of the plate is derived, and the eigenvalue problem is solved by using shooting method. The eigencurves for frequencies and critical loads of the circular plate with unmovable simply supported edge and clamped edge are obtained. The effects of the variation of thickness and temperature on the frequencies and critical loads of the thermoelastic circular plate subjected to radially uniformly distributed follower forces are then discussed.

The bifilar pendulum is often used for indirect measurements of mass moments of inertia of bodies that possess complex geometries. The exact equation of motion of the bifilar pendulum is highly nonlinear, and has not been solved in terms of elementary functions. Extensive use has been made, however, of the linearized approximation to the exact equation, and it has been assumed that the simple harmonic oscillator adequately describes the motion of the bifilar pendulum. It is shown here that such is generally not the case. Numerical solutions to the exact nonlinear differential equations of motion are obtained for a range of values of initial angular displacement, filament length, and radius of gyration. The filament length and the radius of gyration are normalized with respect to the half-spacing between the filaments. It is shown that the approximate solution gives good results only for small ranges of the system parameters.