En este articulo se presenta un estudio relacionado con los argumentos que esgrimen alumnos de primaria en la resolucion de problemas geometricos que contienen una representacion grafica. En concreto, se analizaron sus argumentos mediante el modelo argumentativo de Toulmin, que permitio la reconstruccion de los mismos desde las intervenciones de los alumnos. Asi, los resultados senalan que en la resolucion de tareas geometricas, los estudiantes de primaria fundamentan sus argumentos a partir de caracteristicas visuales del objeto matematico en estudio, desde formulas o propiedades pertenecientes a la matematica escolar.

espanolEste trabajo propone y describe una metodologia de analisis basada en la formulacion de un conjunto de indicadores didactico-matematicos de las “dialecticas” del estudio y la investigacion. Estos indicadores se construyeron a partir de los datos obtenidos al disenar, implementar y evaluar un Recorrido de Estudio e Investigacion (REI) cuyas preguntas de partida se vinculan al equilibrio de mercado de un modelo de oferta y demanda. Se realizaron dos implementaciones en el ultimo ano del nivel escolar secundario argentino (16-17 anos) (N = 60). El profesor propuso a los estudiantes preguntas del tipo siguiente: ?Como calcular el punto de equilibrio en un modelo lineal de mercado? ?Cuanto varia exactamente el punto de equilibrio al modificar los para- metros del modelo? Se concluye que las dialecticas mas identificadas son del individuo y del colectivo, del tema y fuera-de-tema, del estudio y de la investigacion, del analisis-sintesis praxeologica y del analisis-sintesis didactica, asi como de las cajas negras y cajas claras. EnglishThis paper proposes and describes an analysis methodology based on the formulation of a set of didactic-mathematical indicators of the “dialectics” of study and research. These indicators were constructed based on the data obtained from de design, implementation and evaluation of a study and research path (SRP). The SRP’s initial questions are connected to market equilibrium in a microeconomic model of the supply and demand. Two implementations were developed in the last year of the Argentine secondary level (16-17years) (N = 60). The teacher proposed to the students the following type of questions: How to determine the market equilibrium? If the parameters of the model are modified: How to describe the variation of the point of equilibrium? How much does the point of equilibrium change exactly in each case? We conclude that the most identified dialectics are: the individual and collective, theme and out of theme, study and research, praxeological analysis-synthesis and didactic of analysis-synthesis, and the dialectic of black boxes and clear boxes.

espanolLa presencia de la teoria de los numeros en los curriculos escolares de Matematicas esta predominantemente enfocada en la discusion y validacion de estrategias para la simplificacion de calculos con numeros. Mas alla de ese aspecto pragmatico, hay otra rica posibilidad de trabajo con la teoria de los numeros en conexion directa con los fundamentos del pensamiento matematico. En este articulo presento definiciones y algunas propiedades de los numeros felices y educados, que consiste en rico material para trabajar aspectos aritme­ ticos y algebricos de la teoria de los numeros en el aula con estudiantes de nivel secundario. EnglishThe presence of the number theory in mathematical academic curriculum is predominantly focused on discussion and validating of strategies for simplifying calculations with numbers. Beyond this pragmatic aspect, there is another rich opportunity to work with the number theory in direct connection with the fundamentals of mathematical thinking. In this article, I present definitions and some properties of happy and polite numbers, which can be a rich material to work with the arithmetic and algebraic aspects of number theory in a classroom with upper secondary students.

espanolEste articulo presenta parte de un estudio cuyo foco es el analisis de estrategias y procedimientos matematicos que desplegaron estudiantes talentosos en un taller de resolucion de problemas en la Quinta Region de Chile, utilizando el analisis implicativo como recurso estadistico. La metodologia considero el trabajo de un grupo de estudiantes que individualmente resolvian problemas segun la tematica en estudio, y a los cuales se les permitio explicar sus estrategias y formas de abordar los problemas planteados en forma socializada. Como principal hallazgo, se evidencia el uso eficaz de las estrategias ensayo y error, busqueda de patrones y haz una lista para resolver distintos problemas, que demandaron manipular un conjunto de numeros naturales consecutivos bajo una condicion dada. Ademas, se describen los procedimientos matematicos que se activaron a la luz de las estrategias utilizadas, y su relacion con los contenidos matematicos que los programas de estudio declaran. Esta estrategia de trabajo permite establecer las distintas formas de proceder en la resolucionde problemas de los estudiantes que participaron y al mismo tiempo el uso de los recursos operatorios que ellos utilizaban, considerando la necesidad de desarrollar la habilidad de resolver problemas, establecida por el curriculo nacional en Chile. EnglishThis article presents part of a study that focuses on the analysis of strategies and mathematical procedures displayed by gifted students in a problem-solving workshop, which was implemented in the fifth region of Chile. The implicative analysis was used as statistic resource. The methodology considered the work that a group of students produced individually as they solved problems according to the topic of study. Additionally, these students were allowed to explain their strategies and methods, as well as to approach the proposed problems in a socialized way. Findings reveal the strategies used by students, which include trial and error, pattern recognition, make-a-list to solve different problems that demanded the knowledge of a set of consecutive natural numbers under a given condition. They also show the mathematical procedures that were activated when using the strategies, and their relation to the mathematical contents stated in the study plans. This working strategy allows to identify different approaches to problem-solving, and to specify the operatory resources that students used, considering the need to develop the skill to solve problems, as stated by the Chilean national curriculum.

Esta investigacion ha recibido el apoyo de los Proyectos I+D+i, EDU2014-54526-R del Ministerio de Economia y Competitividad, Gobierno de Espana.

"En este estudio se describen los cambios en las significaciones de la representación escrita del algoritmo de la división en concordancia con un problema de partición, en Andrea, una estudiante de sexto grado de primaria de una escuela pública. Con base en la teoría de los campos conceptuales, se analizan diferentes teoremas y conceptos-en-acto con los que ella actúa en distintas situaciones problemáticas que se le plantean en una entrevista clínica durante la cual reflexiona y reformula sus ideas sobre las relaciones expresadas en los problemas, y su vínculo con el esquema de la división. El cambio más importante que se observa es en los principios que rigen la escritura de la división (teoremas-en-acto). Inicialmente, ella escribe el algoritmo guiada por ideas como que "el número mayor va adentro" sin que haya una relación conceptual con lo que expresa el problema, al final de la entrevista Andrea plantea la relación entre el dividendo y el divisor atendiendo a dicha relación. Asimismo, se observan cambios en cómo concibe la relación medida-magnitud. Se discuten las implicaciones educativas de tomar en consideración los conceptos y teoremas-en-acto de los alumnos para fortalecer el aprendizaje de las matemáticas."

espanolEste articulo tiene como fin caracterizar la formacion que se ofrece a futuros profesores de matematicas en busca de configurar su conocimiento matematico para ensenar (MKT) geometria analitica elemental. Se analiza el aporte disciplinar de la asignatura Geometria I, de una carrera de formacion de profesores de matematicas en Argentina. Se identifican en detalle los dominios del MKT mediante las acciones realizadas por el profesor y los contenidos vistos en las primeras clases de geometria analitica. La investigacion, que se aborda, mediante un estudio de caso, tiene un enfoque eminentemente cualitativo y un alcance principalmente descriptivo. Los resultados revelan que todos los dominios del MKT se activaron en las clases observadas. La diversidad y especificidad de tales activaciones puede servir como guia para orientar metodologicamente estudios que se basen en el modelo teorico de referencia, en la linea de formacion de profesores en geometria analitica. EnglishThis paper aims to characterize the training that is offered to Mathematics’ future teachers on the grounds of the mathematical knowledge for teaching(MKT) elemental analytical geometry. It is analyzed in terms of the curricular contribution of the subject Geometry I, in a career of mathematics’ teachers’ training in Argentina. It seeks to identify in detail theMKT domains through the actions of the teacher and the contents of the first classes of analytic geometry. The research, which is carried out through a case study, has got a qualitative focus and a mainly descriptive purpose. The results reveal that all the domains of the MKT were activated in the observed classes. The diversity and specificity of such activations can serve as a methodological guide for studies that are based on the theoretical model of reference, in the line of teachers’ training in analytical geometry.

El presente articulo analiza la argumentacion sustancial realizada por estudiantes de 15 a 17 anos de Nivel Medio Superior en problemas contextualizados evocados desde un enfoque cognitivo, en las unidades de aprendizaje de Algebra y Calculo Diferencial. Este enfoque se adopta, desde el analisis funcional y estructural del razonamiento, que permite evidenciar mecanismos discursivos por medio de los cuales un razonamiento puede cambiar la certeza y validez de las proposiciones. Como resultado, se identificaron elementos que caracterizan a la argumentacion sustancial en problemas contextualizados evocados y la presencia de conectivos organizativos para mostrar la fuerza de los argumentos y su orientacion hacia el enunciado-objeto. En terminos generales los alumnos desarrollaron procesos intuitivos para establecer conjeturas y la posibilidad de construir proposiciones para emitir afirmaciones razonadas. La etnografia, modelo particular de la investigacion cualitativa, se utilizo para el analisis de registros y transcripciones de las clases. Es relevante hacer mencion que en el presente escrito solo se analiza un problema contextualizado

En este articulo se propone, a partir del estudio de ciertos ejemplos, una reflexion sobre la manera en la cual las ciencias cognitivas y la didactica de las matematicas abordan cuestiones relacionadas con las dificultades de aprendizaje en matematicas. Se intenta poner en evidencia las concepciones teoricas en las que se apoya el analisis y, ciertas razones por las cuales estas concepciones son consideradas fundamentales para el mismo