Разработан алгоритм высокоточного численного решения эллиптического уравнения второго порядка при наличии в области нескольких интерфейсов, в том числе пересекающихся и невыпуклых. Для аппроксимации задачи в окрестности интерфейсов используются нерегулярные ячейки (н-ячейки), отсекаемые ими от регулярных ячеек прямоугольной сетки, и законтурные части этих ячеек. Для построения приближенного решения предложено: 1) выписывать дополнительные условия согласования в н-ячейках на интерфейсах, увеличивая количество согласуемых ячеек вблизи интерфейсов; 2) уменьшать общую часть интерфейса, заключенную в соседних ячейках и используемую для записи условий. Для решения краевой задачи Дирихле реализован hp-вариант метода коллокации и наименьших квадратов (hp-МКНК) в сочетании с современными алгоритмами ускорения итерационного процесса: предобуславливание; распараллеливание с помощью OpenMP; ускорение, основанное на подпространствах Крылова; многосеточный алгоритм. При решении различных тестовых задач исследованы сходимость hp-МКНК и обусловленность возникающих переопределенных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Проведено сравнение результатов, полученных МКНК, с результатами других авторов, использовавших метод MIB (англ. matched interface and boundary). An algorithm of the high-accuracy numerical solution of the second order elliptic equation with several interfaces including intersecting and non-convex ones is developed. To approximate the interface problem in the neighbourhood of the discontinuity lines irregular cells (i-cells) which are cut off by the discontinuity lines from the regular cells of the rectangular grid and the “outsidethe-contour” parts of the cells are used. To construct an approximate solution, it is proposed: 1) to write out the additionally matching conditions in i-cells on interfaces increasing the number of matching cells; 2) to reduce the common part of the discontinuity line enclosed between neighboring cells and used for setting conditions. To solve the Dirichlet boundary value problem the hp-version of the least-squares collocation method (hp-LSCM) is implemented in combination with modern algorithms for accelerating the iterative process: preconditioning, parallelization of the computational program using OpenMP, Krylov subspaces; multigrid method. The convergence of the hp-LSCM and the conditionality of the arising overdetermined systems of linear algebraic equations (SLAE) are investigated in solving various test problems. The results obtained by the LSCM and other authors using the method MIB (matched interface and boundary) are compared.

The objective of this paper is to construct a generalized quadratic spectrum approximation based on the Kantorovich projection method which llows us to deal with the spectral pollution problem. For this purpose, we prove that the property U (see Eq. 3) holds under weaker conditions than the norm and the collectively compact convergence. Numerical results illustrate the effectiveness and the convergence of our method. Целью данной работы является построение обобщенной квадратичной аппроксимации спектра на основе проекционного метода Канторовича, которая позволяет справиться с проблемой спектрального загрязнения. Для этого мы доказываем, что свойство U (см. (3)) выполняется при более слабых условиях, чем норма и коллективно компактная сходимость. Численные результаты иллюстрируют эффективность и сходимость нашего метода.

В данной работе начальная форма волны цунами (ниже именуемая источником цунами) представляется как решение обратной задачи математической физики на основе инверсии удаленных записей пришедшей волны, что позволяет детально изучить факторы, влияющие на результаты восстановления. Исследуемая задача является некорректной, что приводит к ожидаемой неустойчивости численного решения, существенно уменьшить которую позволяет регуляризация, основанная на методе усеченного сингулярного разложения (SVD) (далее метод r-решения). В рамках предложенного подхода на основе анализа распространения энергии олны предлагается методика выбора наиболее информативной части имеющейся системы наблюдения для реального события цунами на Соломоновых островах 6 февраля 2013 г. Метод может быть полезен при разработке новых систем мониторинга цунами. A significant constituent element of tsunami forecasting is to gain some insight into an initial tsunami waveform (below referred to as a tsunami source). Representing a tsunami source as a solution to the inverse problem of mathematical physics based on the inversion of remote records of the incoming wave allows one in detail to study the factors affected the inversion results. The above issue is an ill-posed one that causes the expected instability of the numerical solution. The regularization based on the truncated singular value decomposition (SVD) method (below referred to as the r-solution method) allows one to avoid this obstacle. Within the method proposed, we offer the methodology for selecting the most informative set of the tsunami sensors for the case of the Solomon Islands Tsunami of February 6, 2013, as an example. The method can be used in designing a tsunami warning system.

Исследованы возможности численного метода коллокации и наименьших квадратов (КНК) на примерах кусочно-полиномиального решения задачи Дирихле для уравнений Пуассона и типа диффузии-конвекции с особенностями в виде больших градиентов и разрыва решения на границах раздела двух подобластей. Предложены и реализованы новые hp-варианты метода КНК, основанные на присоединении внутри области малых и/или вытянутых нерегулярных ячеек, отсекаемых криволинейной границей раздела от исходных прямоугольных ячеек сетки, к соседним самостоятельным ячейкам. Выписываются с учетом особенности условия согласования между собой кусков решения в ячейках, примыкающих с разных сторон к границе раздела. Проведено сравнение результатов, полученных методом КНК и другими высокоточными методами. Показаны преимущества и достоинства метода КНК. Для ускорения итерационного процесса применены современные алгоритмы и методы: предобуславливание; свойства локальной системы координат в методе КНК; ускорение, основанное на подпространствах Крылова; операция продолжения на многосеточном комплексе; распараллеливание. Исследовано влияние этих способов на количество итераций и время расчетов при аппроксимации полиномами различных степеней. The capabilities of the numerical least-squares collocation (LSC) method of the piecewise polynomial solution of the Dirichlet problem for the Poisson and diffusion-convection equations are investigated. Examples of problems with singularities such as large gradients and discontinuity of the solution at interfaces between two subdomains are considered. New hp-versions of the LSC method based on the merging of small and/or elongated irregular cells to neighboring independent cells inside the domain are proposed and implemented. They cut off by a curvilinear interface from the original rectangular grid cells. Taking into account the problem singularity the matching conditions between the pieces of the solution in cells adjacent from different sides to the interface are written out. The results obtained by the LSC method are compared with other high-accuracy methods. Advantages of the LSC method are shown. For acceleration of an iterative process modern algorithms and methods are applied: preconditioning, properties of the local coordinate system in the LSC method, Krylov subspaces; prolongation operation on a multigrid complex; parallelization. The influence of these methods on iteration numbers and computation time at approximation by polynomials of various degrees is investigated.

Предложен балансно-характеристический метод решения систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа, обладающий четвертым порядком аппроксимации на равномерных сетках и вторым порядком и улучшенными дисперсионными свойствами на неравномерных сетках. Метод основан на известной схеме КАБАРЕ, балансные фазы которой модифицированы путем добавления антидисперсионных членов особого вида. Ранее метод, обладающий схожими свойствами, предлагался только для простейшего одномерного линейного уравнения переноса. Приведенная модификация схемы позволяет улучшить дисперсионные свойства переноса сразу всех инвариантов Римана рассматриваемой системы уравнений. Схема бездиссипативна при отключенных процедурах монотонизации и устойчива при числах Куранта CFL ≤ 1. Точность метода и его порядок сходимости продемонстрированы на серии расчетов задачи о переносе волны, промодулированной гауссианом, на последовательности сгущающихся сеток. Предложенный метод планируется использовать в качестве основы для построения схемы КАБАРЕ с улучшенными дисперсионными свойствами для систем нелинейных дифференциальных уравнений. A conservative-characteristic method to solve systems of linear hyperbolic-type partial differential equations is proposed. This method has the fourth order of approximation on uniform grids and the second approximation order and improved dispersion properties on non-uniform grids. The proposed method is based on the well-known CABARET scheme whose conservative phases are modified by adding anti-dispersive terms of a special type. Previously, a method with similar properties was proposed only for the simplest one-dimensional linear advection equation. The modification of the scheme allows us to improve the dispersion properties of the advection for all Riemann invariants of the system of equations under consideration at once. The scheme is non-dissipative when the monotonization procedures are not used and is stable at Courant numbers CFL ≤ 1. The accuracy of the method and its order of convergence are shown in a series of solving the problem of advection of a wave modulated by a Gaussian on a sequence of condensing grids. The proposed method is planned to be used as a basis for constructing a CABARET scheme with improved dispersion properties for systems of nonlinear differential equations.

Показано, что теорема Кенига о нулях аналитической функции, примененная к логарифмической производной целой функции конечного порядка, приводит к алгоритму отыскания нулей, для которого областями сходимости являются многоугольники Вороного искомых нулей. Так как диаграмма Вороного последовательности нулей составляет множество меры нуль, то алгоритм имеет глобальную сходимость. Дана оценка скорости сходимости. Для итераций высших порядков, которые строятся с помощью теоремы Кенига, рассмотрено влияние кратности корня на область сходимости и приводится оценка скорости сходимости. It is shown that Koenig's theorem on zeros of analytic functions applied to the logarithmic derivative of an integer function of finite order leads to an algorithm of finding zeros whose convergence domains are the Voronoi polygons of the zeros to be found. Since the Voronoi diagram of a sequence of zeros is a set of measure zero, this algorithm is globally convergent. The rate of convergence is estimated. For higher-order iterations that are constructed using Koenig's theorem, the effect of root multiplicity on the convergence domain is considered and the convergence rate is estimated for this case.

Статья посвящена исследованию нового метода решения сверхбольших задач линейного программирования. Указанный метод получил название "апекс-метод". Апекс-метод работает по схеме предиктор-корректор. На фазе предиктор находится точка, лежащая на границе <em>n</em>-мерного многогранника, задающего допустимую область задачи линейного программирования. На фазе корректор организуется итерационный процесс, в результате которого строится последовательность точек, сходящаяся к точному решению задачи линейного программирования. В статье дается формальное описание апекс-метода и приводятся сведения о его параллельной реализации на языке C++ с использованием библиотеки MPI. Приводятся результаты масштабных вычислительных экспериментов на кластерной вычислительной системе по исследованию масштабируемости апекс-метода. The paper is devoted to a new method for solving large-scale linear programming (LP) problems. This method is called the apex-method. The apex-method uses the predictor–corrector framework. Thepredictor step calculates a point belonging to the feasible region of the LP problem. The corrector step calculates a sequence of points converging to the exact solution of the LP problem. The paper gives a formal description of the apex-method and provides information about its parallel implementation in C++ language using the MPI library. The results of large-scale computational experiments on a cluster computing system to study the scalability of the apex method are discussed.

Рассматривается приближенный метод решения задачи Коши для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, основанный на применении смещенных рядов Чебышёва и квадратурной формулы Маркова. Приведены способы оценки погрешности приближенного решения, выраженного в виде частичной суммы ряда некоторого порядка. Погрешность оценивается с помощью второго приближенного решения, вычисленного специальным образом и представленного частичной суммой ряда более высокого порядка. На основе предложенных способов оценки погрешности построен алгоритм автоматического разбиения промежутка интегрирования на элементарные сегменты, делающие возможным вычисление приближенного решения с наперед заданной точностью. Работа метода проиллюстрирована примерами, в том числе примером из небесной механики. An approximate method of solving the Cauchy problem for nonlinear first-order ordinary differential equations is considered. The method is based on using the shifted Chebyshev series and a Markov quadrature formula. Some approaches are given to estimate the error of an approximate solution expressed by a partial sum of a certain order series. The error is estimated using the second approximation of the solution expressed by a partial sum of a higher order series. An algorithm of partitioning the integration interval into elementary subintervals to ensure the computation of the solution with a prescribed accuracy is discussed on the basis of the proposed approaches to error estimation.

Статья посвящена развитию гибридного метода крупных частиц применительно к двумерным течениям с развитием физической неустойчивости на поверхностях раздела неоднородных газовых смесей. Высокая разрешающая способность метода продемонстрирована при решении задач взаимодействия ударной волны с цилиндрическим пузырем легкого или тяжелого газов в сравнении с экспериментом и расчетами по другим схемам повышенного порядка аппроксимации. This paper is devoted to the development of a large-particle hybrid method for two-dimensional flows with physical instability on the interface of inhomogeneous gas mixtures. The high resolving capacity of the method is shown for problems of shock wave interaction with a cylindrical bubble of a light or heavy gas in comparison with experiments and simulations using other schemes of higher-order approximation.

Рассматривается проблема суперкомпьютерного моделирования процессов очистки воздушной среды от мелкодисперсных твердых загрязняющих примесей, кластеризованных в виде наночастиц. Моделируемый способ очистки предполагает применение нанофильтров и сорбентов. Оба способа очистки часто комбинируются в современных очистных системах. Способ очистки с помощью нанофильтров позволяет получить высокое качество, но является дорогостоящим вследствие необходимости частой замены фильтрующих элементов (мембран). Способ очистки с помощью сорбентов оказывается несколько хуже по качеству, однако позволяет проводить очистку многократно после промывки сорбента специальными жидкостями. Для оптимизации систем воздушной очистки, использующих нанофильтры и сорбенты, необходимо детальное исследование протекающих в системе очистки процессов. В предлагаемом исследовании рассматривается часть проблемы, связанная с прохождением воздушного потока, содержащего твердые наночастицы загрязнителя, через слой гранулированного сорбента. Для этого разработаны многомасштабная математическая модель, численный алгоритм и параллельная реализация модели на макроскопическом масштабе. Новизна подхода связана с использованием квазигазодинамической модели для описания течения в сорбирующем слое и нескольких вариантов граничных условий на гранулах сорбента. Предварительные расчеты показали возможность расчета течений подобного класса. This paper considers the problem of supercomputer modeling of processes for cleaning the air from fine-dispersed solid polluting impurities clustered in the form of nanoparticles. The simulated purification method involves the use of nanofilters and sorbents. Both the purification methods are often combined in modern treatment systems. The cleaning method using nanofilters allows one to obtain the high quality of purification, but is expensive due to the need for frequent replacement of filter elements (membranes). The cleaning method using sorbents is somewhat worse in quality, however, it allows cleaning many times after washing the sorbent with special liquids. To optimize air cleaning systems using nanofilters and sorbents, a detailed study of the processes occurring in the cleaning system is necessary. The proposed study considers part of the problem associated with the passage of an air stream containing solid pollutant nanoparticles through a layer of granular sorbent. To accomplish this, a multiscale mathematical model, a numerical algorithm and a parallel implementation of the model on a macroscopic scale have been developed. The novelty of the approach is associated with the use of a quasigasdynamic model to describe the flow in the sorbing layer and several variants of the boundary conditions on the sorbent granules. Preliminary calculations show the possibility of calculating flows of a similar class.